Калькулятор векторов

Скалярное произведение, длины векторов и угол между ними.

Скалярное произведение
—
Длина вектора a
—
Длина вектора b
—
Угол между векторами
— °

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите координаты вектора a.
  2. Введите координаты вектора b.
  3. Получите скалярное произведение и длины векторов.
  4. Проверьте угол между векторами в градусах.

О калькуляторе

Калькулятор выполняет базовые операции с векторами на плоскости по их координатам: считает скалярное произведение, длины (модули) обоих векторов и угол между ними. Эти операции — основа аналитической геометрии, физики (работа силы) и школьных задач.

Скалярное произведение векторов a(ax, ay) и b(bx, by) равно сумме произведений координат: a·b = ax·bx + ay·by. Длина вектора — корень из суммы квадратов координат (по теореме Пифагора). Угол находится через косинус: cos φ = a·b / (|a|·|b|). Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны; если оно положительно — угол острый, отрицательно — тупой.

Примеры расчёта

a(3, 4) и b(4, −3)

Скалярное произведение 3·4 + 4·(−3) = 0 — векторы перпендикулярны, угол 90°. Длины: |a| = 5, |b| = 5.

a(1, 2) и b(3, 6)

Произведение 3 + 12 = 15, длины √5 и √45, cos φ = 15 / (√5·√45) = 1 — угол 0°, векторы сонаправлены (коллинеарны).

Частые вопросы

Как понять по скалярному произведению взаимное положение векторов?
Если произведение равно нулю — векторы перпендикулярны. Положительное значение означает острый угол между ними, отрицательное — тупой. А если косинус угла получился равным 1 или −1, векторы коллинеарны: лежат на одной прямой, сонаправлены или противоположны.
Как найти длину вектора по координатам?
По теореме Пифагора: длина равна корню из суммы квадратов координат, |a| = √(ax² + ay²). Например, вектор (3, 4) имеет длину √(9 + 16) = 5. Для вектора, заданного двумя точками, сначала находят координаты как разности координат конца и начала.

Похожие калькуляторы

Калькулятор по теореме Пифагора Расчёт гипотенузы или катета прямоугольного треугольника. Калькулятор по теореме косинусов Сторона по двум сторонам и углу или угол по трём сторонам треугольника. Калькулятор матриц 2×2 Сложение, вычитание и умножение матриц 2×2, определители. Перевод радиан в градусы и обратно Перевод угла из радиан в градусы и обратно через число π. Калькулятор НОД и НОК Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел. Калькулятор арифметической прогрессии n-й член и сумма первых n членов арифметической прогрессии.